衍射强度

X 射线与孤立电子的相互作用

尽管 X 射线被带电粒子散射到了各个方向，但散射波的强度取决于散射角度以及观测点与电子的距离。在距离电子 r 处观测到的散射波的强度可以表示为:

I = I_{0} \frac{q^{4}}{{(4 π ε_{0})}^{2} r^{2} m^{2} c^{4}} \sin^{2} α

假设入射波沿着 OX 方向运动，在 O 点与电子发生散射。选择 XZ 平面上的某点 P 作为观测点，散射波 OP 与入射波夹角为 2θ，OP 距离为 R

汤姆逊公式

$I_{P} = I_{0} \frac{e^{4}}{{(4 π ε_{0})}^{2} m^{2} c^{4} R^{2}} (\frac{1 + \cos^{2} 2 θ}{2})$

由于原子核引起的 X 射线散射波的强度极弱，可以忽略不计，因此原子散射波其实就是原子中各个核外电子的散射波合成的结果
根据测不准原理，只能知道电子云密度的空间分布，引入原子散射因子的概念，它是考虑了各个电子散射波的位相差之后同一原子中所有电子散射波合成的结果

f = \frac{单个原子散射的相干散射波的振幅}{单个电子散射的相干散射波的振幅}

f = \frac{A_{a}}{A_{e}} = {(\frac{I_{a}}{I_{e}})}^{\frac{1}{2}}

计算结果如下：

原子散射因子特点

由晶胞的所有原子散射的波，考虑其不同的相位与振幅，为了能够进行加和，最方便的方法是将每个波表示为一个复数指数函数:

A e^{i ϕ} = f e^{2 π i (h u + k v + l w)}

对于晶面hkl，其形成的结构因此 $F_{h k l}$ 为：

F_{h k l} = f_{1} e^{2 π i (h u_{1} + h v_{1} + l w_{1})} + f_{2} e^{2 π i (h u_{2} + k v_{2} + l w_{2})} + \dots + f_{N} e^{2 π i (h u_{N} + k v_{N} + l w_{N})}

即

F_{h k l} = \sum_{j = 1}^{N} f_{j} e^{2 π i (h u_{j} + k v_{j} + l w_{j})}